MATEMATICA - Função quadrática

(Unimontes-MG) Um mergulhador quer resgatar a caixa preta de um avião que caiu em um rio. Como havia um pouco de correnteza, a trajetória descrita pelo mergulhador foi como na figura abaixo.

Sabendo-se que a distância, na horizontal, do bote de resgate ao local onde está a caixa é de 6 m e que a trajetória do mergulhador é descrita pela função dada por , a profundidade que o mergulhador terá de alcançar será:

Em uma brincadeira um garoto chutará uma bola para que ela atinja a maior altura possível, essa bola chutada deve passar sobre uma árvore de 8 m de altura. Sabe-se que a altura (h) da bola em metros ao longo do tempo (t) em segundos é dada por:   

A bola parte do ar (sem tocar o solo) e nessa brincadeira é marcado o tempo que a bola consegue ficar no ar a uma altura maior ou igual à da árvore. Assim a bola que seguiu o comportamento dado pela função anterior ficou no ar por um tempo de:

O gráfico a seguir é uma função do número de unidades disponíveis num investimento imobiliário ao longo de duas semanas, onde x = 0 representa um domingo, x = 1 uma segunda-feira, x = 7 um segundo domingo e assim por diante.

A função que descreve o gráfico anterior é dada por em que c é um número inteiro. Dada à situação pode-se dizer que a oferta máxima de unidades e o momento que foram reduzidas a zero aconteceram respectivamente em:

O formato da porta de uma casa é o de um arco de parábola definido pela função de gráfico: 

Para contornar essa porta de base 2,5 m e altura de 3,125 m será moldada uma chapa de alumínio e para isso deve-se determinar a função que descreve essa parábola, pois essa chapa será feita por uma máquina computadorizada.

Tomando o chão como eixo x e uma das raízes dessa parábola como a origem do sistema cartesiano essa função pode ser descrita por:

(Uern) Seja uma função do 2o grau y = ax² + bx + c, cujo gráfico está representado a seguir.

A soma dos coeficientes dessa função é:

Os gráficos a seguir representam a posição y (em metros) ao longo do tempo x (em segundos) de duas partículas em movimento retilíneo na mesma direção e sentido.

No gráfico podemos observar que a distância entre essas partículas variam de acordo com o tempo. No intervalo de 0 a 6 segundos qual a maior distância entre elas?

Uma turma de 50 alunos de uma faculdade quer fazer sua festa de formatura e contrata uma empresa para realizar a festa. A empresa cobrará R$ 3.000 por aluno e mais um acréscimo de R$ 200 por aluno que não participar da festa. A empresa para realizar a festa precisa de no mínimo R$ 110.000, qual o mínimo de alunos que deverão aderir à essa festa para que a empresa arrecade o mínimo pretendido?

Para a cura (processo de endurecimento de peça cerâmica no forno) de um vaso cerâmico a temperatura deve seguir a seguinte função: que possui o gráfico de temperatura f(x) em função do tempo x dado por: 

O valor de  , em módulo, para essa função será:

Para avaliar a produtividade de uma máquina são avaliados alguns parâmetros: o  e  o  em que d e q são constantes reais positivas. Para avaliar esses parâmetros são utilizados gráficos.

Qual alternativa melhor representa o gráfico de A × B e de C × B ?

O preço de venda de uma mercadoria não é determinado apenas por seu custo de produção, esse varia também em função da demanda pelo produto e do poder aquisitivo da população. Um celular que foi lançado no último ano teve seu preço P(t) dado em função do tempo (t) pela relação:  em que P(t) é dado em reais e t são os meses do ano, t = 0 representa janeiro, t = 1 fevereiro e assim por diante até t = 11 dezembro.

Para analisar o mercado alguns institutos de pesquisas econômicas medem a força de mercado do produto, que varia, basicamente, em função da E(t), expectativa de preço ao longo do tempo (t), que seguem as mesmas grandezas de P(t).

Se E(t) para esse último ano variou segundo a função:  os meses em que a força de mercado do produto E(t) foi sempre maior que seu preço P(t) foram:

(Dicas: 41² = 1.681; 42² = 1.722; 43² = 1.849)

(UEL-PR) O óxido de potássio, K₂O, é um nutriente usado para melhorar a produção em lavouras de cana-de-açúcar. Em determinada região, foram testadas três dosagens diferentes do nutriente e, neste caso, a relação entre a produção de cana e a dosagem do nutriente se deu conforme mostra a tabela a seguir.

Considerando que a produção de cana-de-açúcar por hectare em função da dose de nutriente pode ser descrita por uma função do tipo y(x) = ax² + bx + c, determine a quantidade de nutriente por hectare que maximiza a produção de cana-de-açúcar por hectare. [...]

(EPCAr-MG) Um cabo de suspensão de uma ponte tem a forma de uma parábola, e seu ponto mais baixo está a 2,0 m acima do piso da ponte. A distância do piso da ponte em relação à superfície da baía é de 83,7 m. O cabo passa sobre as torres de sustentação, distantes 1 200,0 m entre si, numa altura de 265,7 m acima da baía e é ligado ao piso da ponte por hastes rígidas perpendiculares a ela.

O comprimento de cada uma das hastes que ligam o cabo à ponte, distantes
50,0 m do centro da ponte é, em metros, igual a:

(FGV-SP) Um número real x, 10 ≤ x ≤ 110 é tal que (x - 10)% da diferença entre 14 e x, nessa ordem, é igual ao número real y. 

Nessas condições, o valor máximo que y pode assumir é:

(Mackenzie-SP) Na figura, estão representados os gráficos das funções f(x) = x² - 2x - 3 e g(x) = 3x + 11.

A soma da abscissa do ponto P com o valor mínimo de f(x) é:

O voo de uma ave que parte de uma árvore a 3 metros do chão pode ser descrito por um arco de parábola que passa pelos pontos (1; 15), quando t = 1 segundo a altura da ave em relação ao solo é de 15 m e (2; 19), quando  t = 2 segundos a altura da ave em relação ao solo é de 19 m. Considerando o momento de partida da ave como t = 0 segundos e o chão como altura zero, quantos segundos a ave ficou a uma altura maior ou igual a 11 m?

Se necessário, utilize as aproximações:

Uma loja de camisetas está com uma promoção para a compra de mais de uma peça. A promoção diz: “Na compra de x camisetas ganhe 5% no preço a ser pago”. Essa promoção é válida para compras entre 1 e 15 camisetas, e cada camiseta custa R$50,00.

O gráfico a seguir representa o preço pago por cada quantidade de camiseta comprada.

Matheus pretendia comprar 6 camisetas nessa loja, mas percebeu que com a mesma quantia de dinheiro poderia levar muito mais camisetas, assim após analisar a promoção decidiu levar o máximo de camisetas possíveis que compraria com o mesmo dinheiro das 6. Essa quantidade de camisetas é:

A cotação de uma ação no mercado internacional é dada pela função:  em que P(x) representa a cotação dessa ação e x o dia do mês de janeiro entre 1 e 31.

Toda vez que a cotação dessa ação for negativa ou zero soa um alarme na empresa de ações para avisá-la. No mês de janeiro o alarme soou:

(PUC-SP) Suponha que no século XVI, (n - 23) anos antes do ano n², Leonardo da Vinci pintou o famoso quadro Mona Lisa. Se Leonardo nasceu em 1452 e morreu em 1519, então quantos anos ele tinha ao pintar esse quadro?

(UEM-PR) O pregão da bolsa de valores de São Paulo se inicia às 10 h e é encerrado às 17 h. Supondo que em um dia de pregão o índice Ibovespa (em pontos) obedeceu à função I(t) = -200t² + 800t + 68 000, em que t representa horas decorridas a partir da abertura do pregão, é correto afirmar que: 

01. o pregão se encerrou com queda entre 3% e 4%.
02. a diferença entre o valor máximo do índice no dia e o valor inicial foi maior do que 1% sobre o índice inicial.
04. às 14 h o índice Ibovespa ficou igual ao índice da abertura do pregão.
08. ao meio-dia o índice atingiu seu valor máximo.
16. o valor mínimo do índice ao longo do pregão foi de 65 000 pontos.

A dos números associados às alternativas corretas é:

O número de hóspedes em um hotel de São Paulo numa determinada semana foi dado pela função quadrática com gráfico a seguir:

Sendo x = 1 domingo e x = 7 sábado faz-se as seguintes afirmações:

I.        Ao longo de toda semana a quantidade de hóspedes foi crescente.

II.       O número máximo de hóspedes neste hotel se deu entre quarta e quinta-feira.

III.      O coeficiente do termo quadrático dessa função é negativo.

Sobre essas afirmações é correto afirmar que:

Durante a faculdade de engenharia um aluno foi orientado a montar um modelo matemático que mostrasse a eficiência (E) de uma máquina ao longo do tempo (t) em minutos.

O modelo apresentado pelo aluno foi:   O aluno disse ao professor que esse modelo funcionaria para a primeira meia hora.

O professor devolveu o modelo ao aluno indicando que ele deveria reavaliar o intervalo de tempo de funcionamento, pois:

(Fatec-SP) Seja f a função quadrática, de  em , definida por f(x) = (k + 3) · (x² + 1) + 4x, na qual k é uma constante real. Logo, f(x) > 0, para todo x real, se, e somente se:

Uma excursão de escola foi proposta para 30 alunos e cada aluno deveria pagar um total de R$ 80,00. Após uma campanha para aumentar a adesão, a empresa responsável pela campanha combinou que para cada aluno novo que aderisse à excursão o preço individual baixaria em R$ 2,00.

Para estudar a melhor situação de arrecadação a empresa construiu um gráfico do número de novas adesões pela arrecadação que representasse a nova campanha. O gráfico que melhor representa essa situação é:

(FGV-SP) A função quadrática f(x) = 16x - x² definida no domínio dado pelo intervalo [0, 7] tem imagem máxima igual a:

(Insper-SP) Uma função do 2^o grau f é tal que, para todo x , tem-se f(x) = f(1 - x). Assim, o gráfico de f é uma parábola cujo vértice é um ponto de abscissa:

Uma fábrica de fertilizantes tem como meta diminuir seu impacto ambiental nos próximos anos. Um engenheiro propõe que os níveis de poluentes devem seguir a função para x > 0 e com domínio conveniente, em que f(x) é a quantidade de poluentes emitidos e x é o tempo em anos para essa diminuição. Um segundo programa é proposto, que baixe o nível de poluentes segundo a função 

Por quantos anos será menor a emissão de poluentes se a fábrica optar pelo programa f(x) em comparação ao g(x)?